证明：奇数阶反对称矩阵的行列式是0。
助教答疑的时候，有同学问了这个问题，刚开始不假思索地用行列式证了一遍。同学走了，我开始无聊地想，为什么呢？简单地写一下吧，下次有人再问我的时候就可以给他多讲一讲了。去年上课的时候乱翻书，看到一个有趣的小结论——《矩阵论教程》54页。习题是这么说的：
设A是n阶实矩阵，证明A是正规阵的充要条件是：存在n阶正交阵Q，使$Q^HAQ=R=diag{R_1,R_2,\cdots,R_n}$，其中$R_i(i=1,\cdots,t)$是1阶或2阶的实阵$[a\ b;-b\ a]$。
想起来当年翻线代书的时候看到一个差不多的东西——李尚志的《线性代数》429页。这书上用的是Jordan型证明实方阵可以实相似到上面的那个对角矩阵，还用了点什么不变子空间，什么初等因子的知识。
证明：实数域上的有限维线性空间的线性变换必有1维或2维的不变子空间。
其实到这儿已经能看出来是咋回事儿了，但我其实看不懂什么初等因子，于是换个说法。有个定理叫代数基本定理，然后就能引出多项式在R上的唯一分解：
$p(x)=c(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_mx+c_m)$
那就是说n阶矩阵的特征多项式也可以写成上面那个样子（当然，复数域上是一样的）。因为奇数阶，就必然至少有一个x是落单的，不能写进一个二次的因子里边去。接下来说明这个落单的x（特征根）一定是0。
一个hermite矩阵一定可以酉相似到一个对角阵，对角元还都是实数（用schur定理，转置一下就可以证明了），其实就是说它的特征根都是实数；因此，一个skew-hermite矩阵必然特征根都是纯虚数，而一个反对称阵显然是一个skew-hermite矩阵，所以反对称阵的特征根都是虚数。最后，一个不能写进一个二次的因子里边的纯虚数，显然就是0。所以奇数阶反对称阵肯定有一个特征根为0。
这种东西竟然可以用行列式就写出来，真是殊途同归。